Une obligation convertible (OC) est un contrat qui tout comme une obligation à coupons, génère des flux financiers (les coupons)  avec le remboursement d’un principal à la date de maturité. (cf. définitions)

En plus de ces caractéristiques identiques aux obligations, une OC peut être échangée (conversion), au gré du détenteur de l’OC,  en n actions S de la société émettrice. Le paiement des coupons cesse alors, et il n’y a pas remboursement du principal à T (date de maturité). 

Divers raffinements comme  la possibilité de rachat (callback) de l’OC par l’émetteur ou le droit de vente par le détenteur à l’émetteur ou encore l’intermittence du droit de conversion, peuvent venir s’ajouter aux caractéristiques  principales déjà citées.

La valeur C d’une OC est logiquement supérieure ou égale à la plus grande des deux valeurs suivantes, sous peine d’arbitrage:

• sa valeur obligataire (valeur actuelle de tous les flux futurs générés par l’obligation)

• sa valeur de conversion ( n x S )

1. Parler de valeur obligataire pour une OC  implique la prise en compte du risque de contrepartie dans l’évaluation du prix de l’OC. Par souci de simplicité on supposera nul, dans un premier temps, le risque de défaut de l’émetteur. On néglige donc le risque de crédit qui est un aspect important de l’évaluation d’une OC.

2. On fait également l’hypothèse simplificatrice suivante : le taux d’intérêt est une fonction déterministe du temps.

3. Le sous-jacent suit un processus du type :

(cf. équation de Black Scholes)

On constitue un portefeuille P long d’une OC de valeur C et courte de delta sous-jacents S. C'est à dire que le portefeuille P est constitué à partir d'un achat de C et d'une vente de delta sous-jacents S.

on choisit delta de sorte que le portefeuille soit immunisé vis à vis des variations du sous-jacent.  Ceci reste vrai tant que l’obligation n’est pas converti.

Si l’on considère que le droit de conversion peut être exercer à tout instant, le portefeuille rapporte donc au mieux r le taux sans risque. En effet, dans l’hypothèse d’absence d’arbitrage profitable, P ne peut rapporter plus que le taux sans risque (on achèterait P en empruntant au taux r), mais si P rapporte moins que r, on peut être court du portefeuille et placer au taux r, seulement en cas d’exercice du droit de conversion (caractère américain de l’option de conversion) on se retrouve uniquement avec le sous-jacent en portefeuille et ce dernier n’est donc plus  immunisé vis à vis des variations du sous-jacent. Bref on a l’inégalité suivante en remplaçant delta  par sa valeur (cf calcul pour l’équation de Black-Scholes)

A la date T la valeur de l’OC est égal au principal C₀

A chaque détachement de coupon on a :

Tel quel il n’y pas suffisamment de contraintes pour déterminer C. On peut imposer en plus  la continuité de C et de sa dérivé par rapport à S. On a d’autre part les conditions au limites :

• C(0,t) à la valeur d’une obligation (en l’absence de risque de défaut)

• 

On a alors un problème posé de manière analogue à celui d’un call américain.

Naturellement, comme les obligations convertibles sont des produits moyens (autours de 5 ans par exemple) ou long terme, prendre comme hypothèse un taux d’intérêt déterministe n’est pas satisfaisant.

La suite... Bientôt !

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