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 Introduction

 

Le raisonnement qui mène à l’évaluation d’une option de type européen dans le cadre du  modèle CRR est un analogue en temps discret  de celui du modèle Black & Scholes (BS).

On découpe l’échelle temporelle de sorte que t peut prendre les valeurs 0,1,2,3,...

 

On se limite d’abord  à t=0 ou 1.

 

 Hypothèses

 

Considérons un  actif S dont la valeur suit une loi lognormale

On fait l’hypothèse que d’un instant à l’autre S peut être multiplié par h  ( S(1) = hS(0) avec h > 1 ) ou b (S(1) = bS(0) avec 0 < b < 1). La probabilité de hausse est p, celle de baisse est ( 1 - p )

 

On fait de plus l’hypothèse qu’une baisse annule une hausse : hb=1     (1)

 

 Démarche Cox Ross Rubinstein

 

Soit C la valeur d’un call européen sur l’actif  S . Appelons P le portefeuille long d’une option et court de delta titres sous-jacents :

Calculons Delta pour rendre P insensible à la variation de S entre 0 et 1 (soit  l’intervalle de temps de 0 à 1).

 

On note avec un + (un -) les valeurs correspondant à une hausse (une baisse) de S.

 

P doit  avoir le rendement  r (le taux sans risque) sinon il existe des possibilités d’arbitrage sans risque.  on a alors l’égalité suivante :

 

avec

 

 

De (3) et (4) on déduit C la valeur de l’option à t=0 :

 

 

 

Reste à évaluer h et b. Soient  le temps écoulé entre 0 et 1,  la moyenne du rendement de S et  l’écart type du rendement de S par unité de temps.  On a les relations suivantes pour la moyenne et le moment d’ordre 2 de S:

 

 

en utilisant (1) on obtient :

 

 

(5), (6) et (7) permettent de déduire la valeur de l’option   C  à l’instant 0 des valeurs de cette même option suivant que le titre sous-jacent a monté ou baissé à l’instant 1.  On voit alors  que de proche en proche il est possible de déduire la valeur du call à t=0 des n+1 valeurs possibles de ce call à t=n. Si t=n est la date de maturité de cette option, le problème est résolu car la valeur du call à cet date est  max(S - K, 0)

 

On peut résumer la démarche par l’arbre suivant :

 

 

 

Valeur du titre

Valeur du call

 

 

  HhS

max(hhS-K,0)

 

hS

C+

 

S

C

 

 HbS

Max(S-K,0)

 

bS

C-

 

 

 

BbS

max(bbS-K,0)

 

 

 

 

 

 

 

Les modèle BS et CRR sont les deux approches (temps continu et temps discret) d’un même raisonnement, et en  écrivant les développements limités   pour (5) (6) et (7)lorsque  devient très petit on retrouve l’équation de BS.

Voir aussi :

- Les options

- Les warrants  

- Black & Scholes

- Coxx Ross Rubinstein

- Volatilité Implicite - Smile

 


 

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