Le
formidable développement qu’ont connu les marchés de produits dérivés
depuis environ trente ans n’aurait probablement pas été possible sans la
publication en 1973 de l’article présentant un modèle d’évaluation
d’options (1). C’est ce modèle et l’équation qui lui est associée que
l’on va essayer d’expliquer plus que de démontrer. Le formalisme et la
rigueur mathématique ne sont donc pas vraiment
respectés.
Il
s’agit d’évaluer le prix d’un call européen (option
d’achat d’une action à une date future T) dont le prix d’exercice
est K.
Le
cadre est celui d’un marché comportant deux actifs, un actif risqué
(action) et un actif non risqué de rendement r définissant le taux d’intérêt
sans risque.
On
présente ici les principales hypothèses sur lesquelles repose le modèle de
Black et Scholes.
Hypothèse
1 (H1) :
La
première hypothèse du modèle est que le rendement
de l’actif risqué S est caractérisé par une tendance et une
composante aléatoire :
Le
rendement du titre S (par abus de langage on
confond le prix du titre et son nom):
La
tendance :
(accroissement moyen pendant le temps
)
La
composante aléatoire
(plus
s
est grand et plus la composante aléatoire est importante)
Le
modèle pour le prix du titre est donc le suivant pour une variation infinitésimale
du rendement :
où
dX est un mouvement brownien standard . Une des propriétés de ce processus
stochastique est E(dX2)=dt
Hypothèse
2 (H2) :
Il
est possible de vendre à découvert sans restriction (position courte).
Hypothèse
3 (H3) :
Il
n’y a pas d’opportunité d’arbitrage (il est impossible de faire des
profit sans risque ce qui revient à dire qu’un portefeuille P sans risque
rapporte exactement le taux sans risque r. H2 permet d’assurer que P ne
rapporte pas moins que r )
Hypothèse
4 (H4) :
Il
n’y a pas de distribution de
dividende (on peut relâcher cette hypothèse)
Hypothèse
5 (H5) :
Il
n’y a pas de cout de transaction
Hypothèse
6 (H6) :
La
cotation des actifs est continu
Hypothèse
7 (H7) :
Le
taux d’intérêt sans risque r est constant.
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Caractéristiques du produit dérivé
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Soit
C le prix d’un dérivé de sous-jacent S. C dépend de S et du temps
et on peut développer C(S,t) en
série de Taylor négligeant les
termes d’ordre supérieur à dt (i.e. dt2, dt3,..) (développement
limité)
avec :
et
d’où :
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Caractéristiques du portefeuille P
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Considérons
maintenant le portefeuille P long d’une option et court de
delta titres sous-jacents :
On
cherche à rendre P insensible au variation du titre S ce qui donne la
relation suivante dite de couverture D :
P
est donc maintenant un portefeuille sans risque, car insensible aux variations
du prix du titre sous-jacent. En conséquence P doit avoir le même rendement
que r, le taux d’intérêt sans risque du marché
(sous peine d’opérations d’arbitrage) d’où :
En
remplaçant dP par son expression données par
(3) et en tenant compte de
(4), on obtient l’équation de Black et Scholes:
La
résolution analytique ou numérique de cette équation permet d’évaluer le
prix d’un call européen (cas de notre exemple) ainsi que toute une série
d’options dont la modélisation permet de se raccrocher au cas présenté
ici.
Pour
s
et r constants, quelques changement de variable permettent d’obtenir la
solution suivante (en notant N(.)
la fonction de répartition d’un loi normale centrée réduite) :
(1)
Black et Scholes : « The pricing of options and corporate
liabilities » Journal of Political Economy May/June 1973
Voir
aussi :
-
Les options
-
Les warrants
-
Black & Scholes
-
Coxx Ross Rubinstein
-
Volatilité Implicite - Smile
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