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 Introduction

 

Le formidable développement qu’ont connu les marchés de produits dérivés depuis environ trente ans n’aurait probablement pas été possible sans la publication en 1973 de l’article présentant un modèle d’évaluation d’options (1). C’est ce modèle et l’équation qui lui est associée que l’on va essayer d’expliquer plus que de démontrer. Le formalisme et la rigueur mathématique ne sont donc pas vraiment respectés.

 

 Objectif

 

Il s’agit d’évaluer le prix d’un call européen (option d’achat d’une action à une date future T) dont le prix d’exercice est K.

 

Le cadre est celui d’un marché comportant deux actifs, un actif risqué (action) et un actif non risqué de rendement r définissant le taux d’intérêt sans risque.

 

 Hypothèses (visualisation permanente)

 

On présente ici les principales hypothèses sur lesquelles repose le modèle de Black et Scholes.

 

Hypothèse 1 (H1) :

La première hypothèse du modèle est que le rendement  de l’actif risqué S est caractérisé par une tendance et une composante aléatoire :

Le rendement  du titre S (par abus de langage on  confond le prix du titre et son nom):  

La tendance : (accroissement moyen pendant le temps )

La composante aléatoire  (plus  s est grand et plus la composante aléatoire est importante)

Le modèle pour le prix du titre est donc le suivant pour une variation infinitésimale du rendement :

 

où dX est un mouvement brownien standard . Une des propriétés de ce processus stochastique est  E(dX2)=dt  

 

Hypothèse 2 (H2) :

Il est possible de vendre à découvert sans restriction (position courte).

 

Hypothèse 3 (H3) :

Il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage (il est impossible de faire des profit sans risque ce qui revient à dire qu’un portefeuille P sans risque rapporte exactement le taux sans risque r. H2 permet d’assurer que P ne rapporte pas moins que r )

 

Hypothèse 4 (H4) :

Il n’y a pas de  distribution de dividende (on peut relâcher cette hypothèse)

 

Hypothèse 5 (H5) :

Il n’y a pas de cout de transaction

 

Hypothèse 6 (H6) :

La cotation des actifs est continu

 

Hypothèse 7 (H7) :

Le taux d’intérêt sans risque r est constant.

 

 Caractéristiques du produit dérivé

 

Soit  C le prix d’un dérivé de sous-jacent S. C dépend de S et du temps et on peut développer  C(S,t) en série de Taylor  négligeant les termes d’ordre supérieur à dt (i.e. dt2, dt3,..) (développement limité)

 

 

 

avec :

et     

 

d’où : 

 


 

 Caractéristiques du portefeuille P

 

Considérons maintenant le portefeuille P long d’une option et court de  delta titres sous-jacents :

 

 

On cherche à rendre P insensible au variation du titre S ce qui donne la relation suivante dite de couverture D :

 

P est donc maintenant un portefeuille sans risque, car insensible aux variations du prix du titre sous-jacent. En conséquence P doit avoir le même rendement que r, le taux d’intérêt sans risque du marché  (sous peine d’opérations d’arbitrage) d’où :

 

 

 Black and Scholes

 

En remplaçant dP par son expression données par  (3)  et en tenant compte de (4), on obtient l’équation de Black et Scholes:

 

 

 

 Résolution

 

La résolution analytique ou numérique de cette équation permet d’évaluer le prix d’un call européen (cas de notre exemple) ainsi que toute une série d’options dont la modélisation permet de se raccrocher au cas présenté ici.

Pour s et r constants, quelques changement de variable permettent d’obtenir la solution suivante  (en notant  N(.) la fonction de répartition d’un loi normale centrée réduite) :

 

 

 

(1) Black et Scholes : « The pricing of options and corporate liabilities » Journal of Political Economy May/June 1973  

 

Voir aussi :

- Les options

- Les warrants  

- Black & Scholes

- Coxx Ross Rubinstein

- Volatilité Implicite - Smile

 

 

 


 

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