Lorsque l'on fait du trading sur options, il faut âtre capable d'évaluer très rapidement le prix d'un call ou d'un put. Pour cela, il existe certaines astuces parmi laquelle on retrouve la "Convexité des Strikes".

Cette propriété permet d'ordonner le prix de 3 options en fonction de leur strike.

Prenons 3 calls de strikes respectifs K1, K2 et K3, portant sur le même sous-jacent S et ayant la même maturité T.

Hypothèses :

1. Le sous-jacent ne distribue pas de dividendes

2. K1 < K2 < K3 tel que K2 = (K1 + K3) / 2 

Remarque : ce cas particulier facilite la compréhension de la démonstration mais ne la restreint pas.

Nous allons montrer que dans tous les cas :

avec C1 = prix du call de strike K1

C2 = prix du call de strike K2

C3 = prix du call de strike K3

Supposons le contraire, à savoir que 2 C2 > C1 + C3 . (1)

Dans ce cas, si un trader décide, à l'instant t = 0, de se constituer un portefeuille en achetant C1 puis C3 et en vendant 2 C2, alors la valeur P de son portefeuille à cet instant est ( 2 C2 - C1 - C3). 

D'où P > 0 à t = 0 d'après (1).

Si à la maturité t = T, le cours du sous-jacent est S < K1, alors les trois call C1, C2 et C3 ne valent rien (C1 = C2 = C3 = 0). Ainsi, le trader se retrouve avec un portefeuille de valeur P = 2C2 - C1 - C3 > 0. De plus, ce montant devient P * exp(rT) si le trader a placer P au taux sans risque r durant T.

Si à la maturité t = T, le cours du sous-jacent est K1 < S < K2, alors les deux call C2 et C3 ne valent rien (C2 = C3 = 0). Seul le call C1 vaut la somme de (S - K1) que le trader perçoit en tant que détenteur de l'option. Ainsi, le trader se retrouve avec un portefeuille de valeur P = 2C2 - C1 - C3 + S - K1 > 0.

Si à la maturité t = T, le cours du sous-jacent est K2 < S < K3, alors seul le call C3 ne vaut 0 (C3 = 0). Le call C1 vaut la somme de (S -K1) que le trader perçoit en tant que détenteur de l'option. Le call C2 vaut la somme de (S - K2) que le trader doit payer au détenteur de l'option. Ainsi, le trader se retrouve avec un portefeuille de valeur 

P = 2C2 - C1 - C3 + S - K1 - 2(S - K2) > 0.

De la même manière, on s'aperçoit que si S > K3, alors le trader se retrouve à t = T avec un portefeuille d'une valeur P = 2C2 - C1 - C3 > 0.

Ainsi, nous avons démontré ici que si 2 C2 > C1 + C3 alors un trader peut immédiatement prendre une position gagnante sans risque. Or ceci est impossible dans un marché parfait du fait qu'il n'existe théoriquement pas d'opportunités d'arbitrages.

D'où  2 C2 < C1 + C3 .

Voir aussi :

- Les options

- Les warrants  

- Black & Scholes

- Coxx Ross Rubinstein

- Volatilité Implicite - Smile

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