Le modèle de Black-Scholes (1) permet de calculer le prix d’un call connaissant le prix du sous-jacent S, K le prix d’exercice de l’option, r le taux d’intérêt sans risque, s la volatilité, T la maturité et t le temps écoulé depuis l’émission. Tous les paramètres sont connus (K, T, t) ou observables (S, r) sauf la volatilité qui doit être estimée. Le modèle de Black-Scholes (BS) suppose une volatilité constante or  cela n’est absolument pas le cas dans la réalité. 

Il est possible, connaissant le prix de marché du call de déduire une valeur unique pour la volatilité. Cette valeur de volatilité est appelée volatilité implicite (VI). La VI peut s’écarter notablement de la volatilité historique (écart type des rendements du sous-jacent) car elle est censé refléter la volatilité future anticipée par le marché. 

Par exemple la nomination d’un gouverneur de banque centrale  peut suivant le candidat choisi faire chuter  ou monter le marché. Les traders d’option savent donc qu’après la nomination le prix du sous-jacent va varier fortement. Les prix des options avant la nomination sont donc élevés bien que devant l’incertitude il y ait peu d’activité (stabilité) sur le sous-jacent et donc une faible volatilité réelle. 

Le fait que la volatilité implicite soit censée rendre compte de la volatilité future est cohérent avec le fait que ce qui compte pour la valeur de l’option, c’est la capacité du sous-jacent à varier pendant la période qui reste jusqu’à la maturité. 

On peut calculer à partir des prix de calls de même maturité, et de prix d’exercice différents calculer les valeurs de la VI. On obtient une courbe convexe assez caractéristique que l’on appelle le smile de volatilité. 

Jusqu’à maintenant, la  volatilité réelle a été envisagée comme un paramètre constant et telle est l’hypothèse du modèle dont (1) est la solution . Or les prix réels des options  permettent de calculer une volatilité implicite qui dépend du temps. Le modèle de volatilité réelle doit donc prendre en compte la variable temps. Sous cette hypothèse, la solution   (1) de l’équation de BS est modifié. De la même façon on constate que la volatilité implicite dépend aussi du prix d’exercice comme le montre le smile et il faut donc prendre en compte la variable prix dans le modèle de volatilité réelle.  La volatilité utilisée dans (1) est la VI et si on note s_s(t, S) la volatilité du sous-jacent, la VI et s_s sont liées.

On peut écrire  en notant T la maturité, K le prix d’exercice S le prix du sous-jacent, et t le temps présent: 

s_s(T,K)= F[T, t, K, S, s_implicite(T, t, K, S)] 

On a alors une surface de volatilité parfois appelée surface de volatilité forward.

Malheureusement si la dépendance temporelle est compatible avec (1) sous réserve de quelques modifications concernant le terme de volatilité, il n’en va pas de même lorsque l’on suppose une dépendance « en prix ». Une solution explicite (i.e. forme fermée) n’est alors plus assurée.  D’autre part des interpolations et extrapolations sont nécessaires en pratique pour établir la surface de volatilité à partir des volatilités implicites, ceux qui peut induire des erreurs importantes.

Cette surface de volatilité est calculée sur des options cotées et peut servir pour évaluer le prix d’options OTC plus complexes. La représentation de la volatilité sous forme de surface est aujourd’hui largement répandu bien que non exempte de problèmes.

Voir aussi :

- Les options

- Les warrants  

- Black & Scholes

- Coxx Ross Rubinstein

- Volatilité Implicite - Smile

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