La notion de parité Call / Put nous vient de Hans Stoll qui l'a publié en 1968 sur le "journal of finance". La parité Call / Put que nous allons décrire ci dessous est "géniale" pour sa simplicité, son efficacité et son utilité.

On suppose que les conditions suivantes sont respectées :

1. Il n'existe pas de coûts de transaction.

2. Le support n'est pas un instrument à terme (i.e. payable ou livrable immédiatement) : on dit que le support est "spot".

3. Le support spot ne verse pas de dividendes pendant la durée de vie de l'option ( i.e. entre [0;T] ).

4. Les options sont européennes.

Considérons les deux portefeuilles suivants :

Portefeuille A : Un call européen + Un montant en cash égal à K*exp(-rT).

Portefeuille B : Un put européen + une action

On suppose que le call C et le put P possèdent les caractéristiques suivantes :

• même support qui vaut S à l'instant t.

• même échéance T.

• même prix d'exercice K.

A l'échéance, les deux portefeuilles valent : max( S(T), K) .

Les options étant européennes, elles ne peuvent être exercées avant la maturité. Par conséquent, les deux portefeuilles doivent avoir la même valeur aujourd'hui, d'où :

 

C + K * exp(-rT) = P + S

avec r : le taux d'intérêt sans risque.

Cette relation décrit la notion de parité call / put. Elle montre également que la valeur d'un call européen avec prix d'exercice K et maturité T peut être déduite de celle d'un put européen avec le même prix d'exercice K et la même maturité T.

Si cette équation n'est pas vérifiée, on peut montrer qu'il existe des opportunités d'arbitrage.

Exemple : 

Supposons que le sous jacent cote 52 euros, que le prix d'exercice est de 50 euros, que le taux d'intérêt sans risque r est de 5% / an, que le prix du call à maturité 3 mois est de 5 euros et que le prix du put à maturité 3 mois est de 3 euros.

Portefeuille A : C + K * exp(-rT) = 5 + 50 * exp( -0.05 * 0.25) = 54.38 euros

Portefeuille B : P + S = 3 + 52 = 55 euros

On constate ici que le portefeuille B vaut plus que le portefeuille A.

La stratégie à adopter est donc ici d'acheter le portefeuille A et de vendre le portefeuille B, c'est à dire acheter le call et vendre le put et le sous-jacent. Cette stratégie génère une plus value de : -5 + 3 + 52 = 50 euros.

Supposons que vous investissiez cette argent au taux sans risque de 5 %.

Ce placement vaudra 50 * exp(0.05*0.25) = 50.63 euros  au bout de 3 mois.

Si le cours du sous jacent à l'échéance de l'option est supérieur à 50 euros, le call sera exercé. S'il vaut moins de 50 euros, le put sera exercé. Dans les deux cas, l'investisseur devra acheter le sous jacent au prix d'exercice de 50 euros.

D'où un profit net à l'échéance de : 50.63 - 50 = 0.63 euros .

Un raisonnement similaire peut être appliqué dans le cas où la valeur du portefeuille A est supérieure à celle du portefeuille B. ( Si vous souhaitez que l'on développe ce raisonnement écrivez nous à : infos@comprendrelabourse.com )

Nous avons montré ici que si l'équation de la parité call / put n'est pas respectée, des opportunités d'arbitrages apparaissent, ce qui est théoriquement interdit dans un marché parfait.

D'où l'équation de parité Call / Put : C - P = S - K * exp(-rT)

On peut faire un call à partir d'un put, du suppot et de r :

C = P + S - K*exp(-rT)

idem pour le put P, le support S ou le taux r.

Emprunter à r' < r peut se faire en utilisant une conversion inversée et la parité call put.

r' étant le taux implicite issue de l'équation parité call put.

• Le support S verse un dividende à t < T.

• Le support est "A terme".

Soit F le cours à terme :

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